パラドクス・パラドクス

パラドクスという言葉から、謎めいた響きを感じていました。

パラドクスといえば、あのアキレスと亀のお話。いまでも見聞きすることがあります。ゼノンのパラドクスなどと呼ばれている有名なお話です。曰く──。

いかに足の速いアキレスといえども、ハンディキャップをもらって少し前に出発した亀に追いつくことは決してできない。なぜならば、先行する亀に追いつこうとするアキレスは、追いつくよりも前に、まずそれまで亀のいた場所にたどりつくことが必要であるが、ところが亀はその間に、いくらか前に進んでいるため、両者の距離はいぜん残っている。この距離を、はじめのハンディキャップに置き換えて、先ほどの動作を行ってみても、両者の距離は小さくなるとはいえ、ゼロにはならない。亀の歩みはのろいが、ゼロではないため、ある時間を与えられれば、必ずある距離を進む。ゆえに、これを何度繰り返そうとも、アキレスと亀の距離は、回数ごとに小さくはなるが、ゼロにはならない。しかして、アキレスは亀に追いつけない。いわんや、追い越すことなどできない。

三十何年か前、はじめてこの話を知ったとき、このパラドクスを解き明かしてみようと思いました。前半の命題は、完全に正しい。しかし、それから導き出されるとされる、追いつけないとの命題は、もちろん受け入れられない。

それならば、これはどうだと、──。

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無限小という概念は、頭の中にはあっても、このぶよぶよとした現実世界には存在していない。もし無限小が存在すると仮定すれば、指と指の隙間を操作するだけで、分母が何億何兆もの大きさの分数を無限に作り出したり、あるいは、ビスケットの割れ方ひとつで、大量の情報（たとえば小数点以下、何億何兆桁の数字の羅列）を蓄えることができ得る。そんなことは現実にはありえない。

現実の世界では、距離にしても時間にしても温度差にしても、固有の「最小サイズ」があって、あらゆる物理量は、それぞれの整数倍の値で測定されるのだ。もしその最小サイズ未満の端数は、その部分につき、0 であるとみなされる。

ひとつの例として、かりに長さの最小サイズを 1メートルだとすると、たとえば 2.5メートルという長さは決して計測されることはなく、2メートルとの結果を得る。長さの最小物理量が1メートルなので、それの整数倍しか、この世では観測されないのだ。

となれば、ぎりぎりまで（最小単位の長さまで）アキレスに迫られた亀は、ある与えられた時間内には最小単位ひと粒の長さを進むことができず（すなわちその時間だけ静止している）、次の瞬間ひと粒を進んできたアキレスに並ばれてしまう。その後は、両者同時スタートの結果と同じだ。「この世の長さ」とはそういうものなのだ。

すなわち、アキレスはきっと亀に追いつくだろうと、われわれが簡単に想像できるのは、われわれ自身もこの世の構成員であり、無限小をもたないこの現実世界の（奇妙な）振る舞いに慣らされているからにすぎないのだと。それはまるで、「摩擦」という現象が存在するなどとは、この世に住んでみなければ想像もできないだろうけど、住んでいれば普通に体感できる（たとえばひもを結ぶ）ことと同じなのだと。

現に電気量は、電子一個の持つ電荷の何個分に相当するかで決まるし、時間だってそんな感じに違いない。この世の中は、そんなふうに出来ている。

が、しかし、それでこのパラドクスの解明になるのだろうか？

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まあ、若かったんですね。相手が仕掛けた幻に惑わされ、夢中になって振りほどこうとしていたのです。結局は、結論は出ませんでした。

出ようが出まいが、時間だけは過ぎてゆきます。

あるとき、ふと気づくのです。

ふたつの命題は、互いに関係がないことに。

最初の、アキレスが亀との距離を縮めていく話は、アキレスが亀に追いつくまでの、無数にあるイベントのひとつを述べているに過ぎないんですね。

「アキレスが、アキレスと亀との距離の10パーセントの地点に到達しても、亀はその時間に少し進む」
「アキレスが、アキレスと亀との距離の50パーセントの地点に到達しても、亀はその時間に少し進む」
「アキレスが、アキレスと亀との距離の90パーセントの地点に到達しても、亀はその時間に少し進む」

あたりまえのことばかりです。

ところが、この距離の割合を「100パーセント」と差し替えると、印象が変ってきます。

「亀がいた場所に到達する」と書かれると、まるでそれが（それが唯一の）、アキレスが亀を追い越そうとする意志をもった動作であり、かつそれは成就しなかった（追いつけなかった）、というストーリーのように読めてしまうのです。

むろん、これはストーリーではなく、必然です。あたりまえの現象です。「亀がいた場所に到達する」という動作を、なんど繰り返しても、両者の距離はゼロにはなりません。

だけど、そのことと、アキレスが亀に追いつけないという命題とは何の関係もないのです。まったく因果関係のない両者を、「ゆえに」で結び付けているのがおかしいのです。「人は馬より走るのが遅い。ゆえに人は馬に触ることはできない」なんて言っているようなものです。それをかつての自分ときたら……。

もうこの問題は、自分の中では解決しています。

パラドクスよ、人と時間が作り出した幻よ、さらば。もう若くなんていられない。